Analytická geometria

→ Vektory

Vektor je orientovaná úsečka, ktorú určuje jej veľkosť (dĺžka) a smer. V rovine vektor zapíšeme pomocou dvoch súradníc: v⃗ = (v₁, v₂).

Ak hľadáme vektor z bodu A(a₁, a₂) do bodu B(b₁, b₂):

AB⃗ = (b₁ − a₁, b₂ − a₂)

Operácie s vektormi

Sčítanie: Ak a⃗ = (a₁, a₂) a b⃗ = (b₁, b₂), potom:

a⃗ + b⃗ = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)

Násobenie skalárom: Ak λ ∈ ℝ:

λ · a⃗ = (λ·a₁, λ·a₂)

Skalárny súčin:

a⃗ · b⃗ = a₁·b₁ + a₂·b₂

Dva vektory sú kolmé, ak je ich skalárny súčin rovný nule.

✅ Riešený príklad 1

Dané sú body A(2, 3) a B(5, 7). Určte vektor AB⃗!

AB⃗ = (5 − 2, 7 − 3) = (3, 4)

✅ Riešený príklad 2

Dané sú a⃗ = (1, −2) a b⃗ = (3, 5). Vypočítajte a⃗ + b⃗ a a⃗ · b⃗!

a⃗ + b⃗ = (1+3, −2+5) = (4, 3)

a⃗ · b⃗ = 1·3 + (−2)·5 = 3 − 10 = −7

Interaktívna súradnicová sústava

Klikni na súradnicovú sústavu a vyber počiatočný a koncový bod vektora.

|·| Veľkosť vektora

Veľkosť (dĺžka, absolútna hodnota) vektora v⃗ = (v₁, v₂) sa vypočíta pomocou Pytagorovej vety.

|v⃗| = √(v₁² + v₂²)

Vzdialenosť dvoch bodov A(a₁, a₂) a B(b₁, b₂):

d(A, B) = √((b₁−a₁)² + (b₂−a₂)²)

Jednotkový vektor

Jednotkový vektor je vektor s daným smerom a dĺžkou 1:

e⃗ = v⃗ / |v⃗|

✅ Riešený príklad 3

Vypočítajte veľkosť vektora v⃗ = (3, 4)!

|v⃗| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

✅ Riešený príklad 4

Aká je vzdialenosť bodov A(1, 2) a B(4, 6)?

d = √((4−1)² + (6−2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5

t Parametrická rovnica priamky

Parametrická rovnica priamky vyjadruje súradnice každého bodu priamky pomocou parametra t ∈ ℝ.

Ak priamka prechádza bodom P₀(x₀, y₀) a jej smerový vektor je v⃗ = (v₁, v₂), potom:

x = x₀ + v₁·t
y = y₀ + v₂·t (t ∈ ℝ)

Vektorový zápis:

r⃗(t) = P₀⃗ + t · v⃗

Smerový a normálový vektor

Ak je smerový vektor priamky v⃗ = (a, b), potom normálový vektor priamky je: n⃗ = (−b, a) alebo n⃗ = (b, −a).

✅ Riešený príklad 5

Napíšte parametrickú rovnicu priamky prechádzajúcej bodom P(2, 1) so smerovým vektorom v⃗ = (3, −1).

x = 2 + 3t

y = 1 − t (t ∈ ℝ)

✅ Riešený príklad 6

Dané sú body A(1, 3) a B(4, 7). Napíšte parametrickú rovnicu priamky AB!

v⃗ = AB⃗ = (4−1, 7−3) = (3, 4)

x = 1 + 3t

y = 3 + 4t (t ∈ ℝ)

Interaktívne kreslenie priamky

Klikni dva body pre priamku a potom spusti animáciu parametra!

ax Všeobecná rovnica priamky

Všeobecná (implicitná) rovnica priamky v rovine má tvar: ax + by + c = 0, kde a a b nie sú súčasne nulové.

Vektor (a, b) je normálový vektor priamky — je kolmý na priamku.

Prevod parametrická → všeobecná

Ak x = x₀ + v₁·t a y = y₀ + v₂·t, vyjadríme t z oboch rovníc a dáme ich do rovnosti:

(x − x₀)/v₁ = (y − y₀)/v₂

Po úprave dostaneme: v₂·x − v₁·y + (v₁·y₀ − v₂·x₀) = 0

Vzdialenosť bodu od priamky

Vzdialenosť bodu P(x₀, y₀) od priamky ax + by + c = 0:

d = |a·x₀ + b·y₀ + c| / √(a² + b²)

Špeciálne tvary rovnice priamky

Smernicový tvar: y = mx + b, kde m je smernica (sklon).

Úsekový tvar: x/p + y/q = 1, kde p a q sú úseky na osiach.

✅ Riešený príklad 7

Preveďte na všeobecnú rovnicu: x = 2 + 3t, y = 1 − t

t = (x − 2)/3 a t = −(y − 1) = 1 − y

(x − 2)/3 = 1 − y

x − 2 = 3 − 3y → x + 3y − 5 = 0

Normálový vektor: n⃗ = (1, 3), Smerový vektor: v⃗ = (3, −1) ✓

✅ Riešený príklad 8

Aká je vzdialenosť bodu P(3, 1) od priamky 4x − 3y + 2 = 0?

d = |4·3 − 3·1 + 2| / √(16 + 9) = |12 − 3 + 2| / 5 = 11/5 = 2,2

✏ Cvičenia

1. Dané sú body A(1, 5) a B(4, 9). Aká je veľkosť vektora AB⃗?

AB⃗ = (3, 4), teda |AB⃗| = √(9+16) = …

2. Dané sú a⃗ = (2, −3) a b⃗ = (6, 4). Koľko je a⃗ · b⃗ (skalárny súčin)?

a⃗ · b⃗ = 2·6 + (−3)·4 = 12 − 12 = …

3. Priamka prechádza bodom P(0, 2) a jej smerový vektor je v⃗=(1, 3). Aká je jej všeobecná rovnica? Napíš v tvare „ax+by+c=0", napr. „3x-y+2=0"

Normálový vektor: n⃗ = (−3, 1) alebo (3, −1). Rovnica: 3x − y + c = 0. Dosadíme bod (0,2)!

4. Aká je vzdialenosť bodu P(1, 1) od priamky 3x + 4y − 2 = 0?

d = |3·1 + 4·1 − 2| / √(9+16) = |5| / 5 = …

5. Sú vektory a⃗ = (4, 2) a b⃗ = (−1, 2) kolmé? (áno/nie)

Skalárny súčin: 4·(−1) + 2·2 = −4 + 4 = 0. Ak je nulový, vektory sú kolmé!

🧪 Záverečný test

Pri každej otázke vyberte jednu odpoveď a potom kliknite na vyhodnotenie!

1. otázka

Smerový vektor priamky prechádzajúcej bodmi A(2, 1) a B(5, 5) je:

(2, 5)

(5, 5)

(3, 4)

(−3, 4)

2. otázka

Aká je veľkosť vektora v⃗ = (5, 12)?

√119

3. otázka

Parametrická rovnica priamky je: x = 1 + 2t, y = 3 − t. Aký je normálový vektor priamky?

(1, 2)

(2, −1)

(−1, 2)

(1, −2)

4. otázka

Skalárny súčin dvoch vektorov je nulový. Čo to znamená?

Sú rovnobežné

Majú rovnakú dĺžku

Sú na seba kolmé

Jeden z nich je nulový vektor

5. otázka

Smernica (sklon) priamky 2x − y + 3 = 0 je:

−2

1/2

6. otázka

Aká je vzdialenosť bodu P(0, 0) od priamky 3x + 4y − 10 = 0?

√10

7. otázka

Ktorý je jednotkový vektor vektora (4, −6)?

(1, −1,5)

(4/10, −6/10)

(2, −3)

(4/√52, −6/√52)

8. otázka

Z parametrickej rovnice x = 3 − t, y = 2 + 4t odvoďte všeobecnú rovnicu:

4x + y − 14 = 0

x − 4y + 5 = 0

4x − y − 10 = 0

x + 4y − 11 = 0