Analitikus Geometria

→ Vektorok

A vektor egy irányított szakasz, amelyet nagysága (hossza) és iránya határoz meg. A síkban egy vektort két koordinátával adunk meg: v⃗ = (v₁, v₂).

Ha az A(a₁, a₂) pontból a B(b₁, b₂) pontba mutató vektort keressük:

AB⃗ = (b₁ − a₁, b₂ − a₂)

Vektorműveletek

Összeadás: Ha a⃗ = (a₁, a₂) és b⃗ = (b₁, b₂), akkor:

a⃗ + b⃗ = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)

Skalárral szorzás: Ha λ ∈ ℝ:

λ · a⃗ = (λ·a₁, λ·a₂)

Skaláris szorzat:

a⃗ · b⃗ = a₁·b₁ + a₂·b₂

Két vektor merőleges egymásra, ha skaláris szorzatuk nulla.

✅ Megoldott példa 1

Adott A(2, 3) és B(5, 7). Határozd meg az AB⃗ vektort!

AB⃗ = (5 − 2, 7 − 3) = (3, 4)

✅ Megoldott példa 2

Adott a⃗ = (1, −2) és b⃗ = (3, 5). Számold ki a⃗ + b⃗ és a⃗ · b⃗ értékét!

a⃗ + b⃗ = (1+3, −2+5) = (4, 3)

a⃗ · b⃗ = 1·3 + (−2)·5 = 3 − 10 = −7

Interaktív koordináta-rendszer

Kattints a koordináta-rendszerre egy vektor kezdő-, majd végpontjának kijelöléséhez.

|·| Vektor nagysága

A v⃗ = (v₁, v₂) vektor nagysága (hossza, abszolút értéke) a Pitagorász-tétel alkalmazásával számítható ki.

|v⃗| = √(v₁² + v₂²)

Két pont, A(a₁, a₂) és B(b₁, b₂) távolsága:

d(A, B) = √((b₁−a₁)² + (b₂−a₂)²)

Egységvektor

Az egységvektor egy adott irányú, egységnyi hosszú vektor:

e⃗ = v⃗ / |v⃗|

✅ Megoldott példa 3

Számítsd ki a v⃗ = (3, 4) vektor nagyságát!

|v⃗| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

✅ Megoldott példa 4

Mekkora az A(1, 2) és B(4, 6) közötti távolság?

d = √((4−1)² + (6−2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5

t Egyenes paraméteres egyenlete

Egy egyenes paraméteres egyenlete megadja az egyenes minden pontjának koordinátáit egy t ∈ ℝ paraméter segítségével.

Ha az egyenes átmegy a P₀(x₀, y₀) ponton és irányvektora v⃗ = (v₁, v₂), akkor:

x = x₀ + v₁·t
y = y₀ + v₂·t (t ∈ ℝ)

Vektoros alakban:

r⃗(t) = P₀⃗ + t · v⃗

Irányvektor és normálvektor

Ha az egyenes irányvektora v⃗ = (a, b), akkor az egyenes normálvektora: n⃗ = (−b, a) vagy n⃗ = (b, −a).

✅ Megoldott példa 5

Írd fel az egyenes paraméteres egyenletét, ha átmegy a P(2, 1) ponton, irányvektora v⃗ = (3, −1).

x = 2 + 3t

y = 1 − t (t ∈ ℝ)

✅ Megoldott példa 6

Adott az A(1, 3) és B(4, 7) pontok. Írd fel az AB egyenes paraméteres egyenletét!

v⃗ = AB⃗ = (4−1, 7−3) = (3, 4)

x = 1 + 3t

y = 3 + 4t (t ∈ ℝ)

Interaktív egyenes rajzoló

Kattints két pontot az egyeneshez, majd animáld a paramétert!

ax Egyenes általános egyenlete

Az egyenes általános (implicit) egyenlete a síkban: ax + by + c = 0, ahol a és b nem egyszerre nulla.

Az (a, b) vektor az egyenes normálvektora, azaz merőleges az egyenesre.

Átalakítás paraméteres → általános

Ha x = x₀ + v₁·t és y = y₀ + v₂·t, akkor fejezzük ki t-t mindkét egyenletből és tegyük egyenlővé:

(x − x₀)/v₁ = (y − y₀)/v₂

Rendezés után kapjuk: v₂·x − v₁·y + (v₁·y₀ − v₂·x₀) = 0

Pont–egyenes távolság

A P(x₀, y₀) pont távolsága az ax + by + c = 0 egyenestől:

d = |a·x₀ + b·y₀ + c| / √(a² + b²)

Speciális egyenesalakok

Iránytangenses: y = mx + b, ahol m a meredekség.

Tengelymetszetes: x/p + y/q = 1, ahol p és q a tengelymetszetszakaszok.

✅ Megoldott példa 7

Alakítsd általánossá: x = 2 + 3t, y = 1 − t

t = (x − 2)/3 és t = −(y − 1) = 1 − y

(x − 2)/3 = 1 − y

x − 2 = 3 − 3y → x + 3y − 5 = 0

Normálvektor: n⃗ = (1, 3), Irányvektor: v⃗ = (3, −1) ✓

✅ Megoldott példa 8

Mekkora a P(3, 1) pont távolsága a 4x − 3y + 2 = 0 egyenestől?

d = |4·3 − 3·1 + 2| / √(16 + 9) = |12 − 3 + 2| / 5 = 11/5 = 2.2

✏ Gyakorlás

1. Adott A(1, 5) és B(4, 9). Mekkora az AB⃗ vektor nagysága?

AB⃗ = (3, 4), tehát |AB⃗| = √(9+16) = …

2. Adott a⃗ = (2, −3) és b⃗ = (6, 4). Mennyi a⃗ · b⃗ (skaláris szorzat)?

a⃗ · b⃗ = 2·6 + (−3)·4 = 12 − 12 = …

3. Az egyenes átmegy P(0, 2)-n, irányvektora v⃗=(1, 3). Mi az általános egyenlete? Írd „ax+by+c=0" alakban, pl. „3x-y+2=0"

Normálvektor: n⃗ = (−3, 1) vagy (3, −1). Az egyenlet: 3x − y + c = 0. Helyettesíts be (0,2)-t!

4. Mekkora a P(1, 1) pont távolsága a 3x + 4y − 2 = 0 egyenestől?

d = |3·1 + 4·1 − 2| / √(9+16) = |5| / 5 = …

5. Merőleges-e a⃗ = (4, 2) és b⃗ = (−1, 2)? (igen/nem)

Skaláris szorzat: 4·(−1) + 2·2 = −4 + 4 = 0. Ha nulla, merőlegesek!

🧪 Záró teszt

Válassz minden kérdésnél egy választ, majd kattints a kiértékelésre!

1. kérdés

Az A(2, 1) és B(5, 5) pontokon átmenő egyenes irányvektora:

(2, 5)

(5, 5)

(3, 4)

(−3, 4)

2. kérdés

Mekkora a v⃗ = (5, 12) vektor nagysága?

√119

3. kérdés

Ha az egyenes paraméteres egyenlete: x = 1 + 2t, y = 3 − t, mi az egyenes normálvektora?

(1, 2)

(2, −1)

(−1, 2)

(1, −2)

4. kérdés

Két vektor skaláris szorzata nulla. Mit jelent ez?

Párhuzamosak

Egyenlő hosszúak

Merőlegesek egymásra

Az egyik nullvektor

5. kérdés

A 2x − y + 3 = 0 egyenes meredeksége (iránytangense):

−2

1/2

6. kérdés

Mekkora a P(0, 0) pont távolsága a 3x + 4y − 10 = 0 egyenestől?

√10

7. kérdés

Melyik a (4, −6) vektor egységvektora?

(1, −1.5)

(4/10, −6/10)

(2, −3)

(4/√52, −6/√52)

8. kérdés

Az x = 3 − t, y = 2 + 4t paraméteres egyenletből mi lesz az általános egyenlet?

4x + y − 14 = 0

x − 4y + 5 = 0

4x − y − 10 = 0

x + 4y − 11 = 0