Ľahké · 1–4
1
Ktorá z rovníc je kvadratická?
2
Urč koeficienty a, b, c rovnice:
−2x² + 5x − 3 = 0
3
Vyriešte neúplnú kvadratickú rovnicu. Zadaj kladný koreň.
x² − 25 = 0
x₁ =
Presuň −25 na pravú stranu: x² = 25. Odmocni obidve strany.
4
Vyriešte rovnicu vytýkaním. Zadaj nenulový koreň.
x² + 6x = 0
x₂ =
Vytkni x pred zátvorku: x · (x + 6) = 0. Súčin je 0, keď x = 0 alebo (x + 6) = 0.
Stredné · 5–8
5
Vypočítaj diskriminant a urč počet reálnych koreňov.
x² − 6x + 9 = 0
D = b² − 4ac = (−6)² − 4·1·9 = 36 − 36 = 0
6
Vyriešte rovnicu pomocou diskriminantu. Zadaj oba korene (menší prvý).
x² + 4x − 12 = 0
x₁ =
x₂ =
a=1, b=4, c=−12. D = 4² − 4·1·(−12) = 16 + 48 = 64. x = (−4 ± √64) / 2
7
Vyriešte rovnicu. Zadaj oba korene (menší prvý).
2x² − 7x + 3 = 0
x₁ =
x₂ =
a=2, b=−7, c=3. D = 49 − 24 = 25. x = (7 ± 5) / 4. Výsledky sú čísla 1/2 a 3.
8
Pre akú hodnotu parametra k má rovnica práve jeden koreň?
x² + kx + 4 = 0
Práve jeden koreň ⟺ D = 0. D = k² − 4·1·4 = k² − 16 = 0. Odtiaľ k² = 16.
Ťažké · 9–10
9
Uprav a vyriešte rovnicu. Zadaj oba korene (menší prvý).
(x + 3)² = 2x + 15
Najprv rozviň ľavú stranu, presuň všetky členy na jednu stranu a uprav na štandardný tvar ax² + bx + c = 0.
x₁ =
x₂ =
Rozviň: x² + 6x + 9 = 2x + 15. Uprav: x² + 4x − 6 = 0. D = 16 + 24 = 40. x = (−4 ± 2√10) / 2 = −2 ± √10. x₁ ≈ −5.16, x₂ ≈ 1.16
10
Záhradník ohradí obdĺžnikový záhon plotom. Má k dispozícii 24 m plotu a chce, aby plocha záhona bola 32 m². Aká je dlhšia strana záhona (v metroch)?
Zostav rovnicu: Nech kratšia strana = x. Potom dlhšia strana = 12 − x (obvod = 24 m, teda 2(a+b) = 24).
Podmienka plochy: x · (12 − x) = 32
Podmienka plochy: x · (12 − x) = 32
dlhšia strana =
x(12 − x) = 32 → −x² + 12x − 32 = 0 → x² − 12x + 32 = 0
D = 144 − 128 = 16. x = (12 ± 4) / 2 → x = 4 alebo x = 8.
D = 144 − 128 = 16. x = (12 ± 4) / 2 → x = 4 alebo x = 8.
0
zo 20 bodov