A mértani sorozat olyan számsora, amelyben egymást követő tagok hányadosa állandó. Ezt az állandó értéket kvóciensnek nevezzük, jelölése q.
──×q──▶
──×q──▶
──×q──▶
──×q──▶
q > 1
Növekvő sorozat
2, 4, 8, 16, 32 …
0 < q < 1
Csökkenő sorozat
100, 50, 25, 12,5 …
q < 0
Alternáló előjelű
1, −2, 4, −8, 16 …
q = 1
Állandó sorozat
5, 5, 5, 5 …
| Jelölés | Neve | Képlet / feltétel |
|---|
| a₁ | Első tag | A sorozat kiindulópontja |
| q | Kvóciens | q = aₙ₊₁ / aₙ (q ≠ 0) |
| aₙ | n-edik tag | a₁ · q^(n−1) |
| Sₙ | Részletösszeg | a₁ · (qⁿ − 1) / (q − 1) |
| S∞ | Végtelen összeg | a₁ / (1 − q) , ha |q| < 1 |
Egy bankban 100 000 Ft-ot helyezel el évi 8%-os kamatlábbal. Mennyi lesz a tőke 10 év után?
- Első tag (a₁): 100 000 Ft — a betét induló összege
- Kvóciens (q): 1 + 0,08 = 1,08 — minden évben 1,08-szorosára nő
- Keresett tag: a₁₁ = 100 000 · 1,08¹⁰
- Számítás: 1,08¹⁰ ≈ 2,1589
- Eredmény: 100 000 · 2,1589 ≈ 215 892 Ft
10 év alatt a tőke több mint megduplázódik — ez a kamatos kamat ereje!
Egy baktériumkolónia 20 percenként megkétszereződik. Kezdetben 500 sejt van. Hány sejt lesz 3 óra múlva?
- Első tag (a₁): 500 sejt
- Kvóciens (q): 2 — megkétszereződés periódusanként
- Periódusok száma: 3 óra = 180 perc → 180 ÷ 20 = 9 periódus
- Keresett tag: a₁₀ = 500 · 2⁹
- Számítás: 2⁹ = 512
- Eredmény: 500 · 512 = 256 000 sejt
3 óra alatt 500 sejtből 256 000 lett — ez a geometriai növekedés hatalma!
Egy radioaktív anyagnak 10 éves felezési ideje van. Kezdetben 200 g van. Mennyi marad 50 év után?
- Első tag (a₁): 200 g
- Kvóciens (q): 0,5 — minden periódusban felére csökken
- Periódusok: 50 év ÷ 10 év = 5 felezési periódus
- Keresett tag: a₆ = 200 · 0,5⁵
- Számítás: 0,5⁵ = 1/32 ≈ 0,03125
- Eredmény: 200 · 0,03125 = 6,25 g
50 év alatt 200 g-ból csupán 6,25 g marad — ötszörös felezés eredménye.
Az egyenletes temperálásban a zongorabillentyűk frekvenciái mértani sorozatot alkotnak. Egy oktáv 12 félhangot tartalmaz, a frekvencia megduplázódik.
- Kvóciens (q): 2^(1/12) ≈ 1,05946
- Alaphang (A₄): 440 Hz
- A₅ (12 félhanggal): 440 · 2¹ = 880 Hz
- C hang (+3 félhang): 440 · 1,05946³ ≈ 523,25 Hz
- E hang (+7 félhang): 440 · 1,05946⁷ ≈ 659,26 Hz
A zene harmóniája mértani sorozaton alapul — matematika és szépség találkozása!