Statisztika
Interaktív Oktató

Fedezd fel a leíró statisztika alapjait — lépésről lépésre megoldott példákkal, interaktív számológépekkel és teszttel.

Módusz Medián Szórás Szóródás Teszt →
01 · Alapfogalom

Módusz (Mo)

A módusz (más néven: typikus érték) az az adat, amely a sokaságban a leggyakrabban fordul elő. Egy adatsornak lehet egy módusza (unimodális), kettő (bimodális), vagy több is (multimodális).

Mo = a legnagyobb gyakoriságú elem
✦ Megoldott példa

Egy osztály tanulóinak jegyei egy dolgozatból:

3
4
5
2
5
4
5
3
4
5
1
Gyakorisági táblázat: 2→1×, 3→2×, 4→3×, 5→4×
2
A legnagyobb gyakoriság a 4×, az 5-ös jegyé.
3
Tehát: Mo = 5
✦ Megoldott példa — bimodális

Napi eladott kávék száma egy héten:

12
8
15
12
15
9
10
1
Gyakoriság: 8→1×, 9→1×, 10→1×, 12→2×, 15→2×
2
Két érték is maximális → Mo = 12 és 15 (bimodális)

Próbáld ki!

Gyakorló feladatok

1) Határozd meg a móduszt: 7, 3, 5, 7, 9, 3, 7, 2, 8
Számold meg, melyik szám fordul elő legtöbbször! A 7-es hányszor szerepel?
2) Határozd meg a móduszt: 10, 20, 20, 30, 30, 40
Több érték is azonos gyakorisággal bírhat — ez bimodális eloszlás.
02 · Középérték

Medián (Me)

A medián a nagyság szerint sorba rendezett adatsor középső eleme. Páratlan elemszám esetén ez egyértelműen a középső, páros esetén a két középső elem átlaga.

Páratlan n: Me = x((n+1)/2)  |  Páros n: Me = (x(n/2) + x(n/2+1)) / 2
✦ Megoldott példa — páratlan elemszám

Heti futott kilométerek: 5, 12, 3, 8, 7

1
Rendezés növekvő sorrendbe: 3, 5, 7, 8, 12
2
n = 5 (páratlan) → a középső elem a (5+1)/2 = 3. helyen áll
3
3. elem = 7 → Me = 7
3
5
7
8
12
✦ Megoldott példa — páros elemszám

Napi alvásidő (óra): 6, 8, 5, 7, 9, 6

1
Rendezés: 5, 6, 6, 7, 8, 9
2
n = 6 (páros) → a 3. és 4. elem átlaga
3
Me = (6 + 7) / 2 = 6,5
5
6
6
7
8
9

Próbáld ki!

Gyakorló feladatok

1) Határozd meg a mediánt: 15, 22, 8, 35, 12
Rendezd sorba: 8, 12, 15, 22, 35 → hányadik a középső?
2) Határozd meg a mediánt: 4, 9, 2, 7, 5, 1
Rendezve: 1, 2, 4, 5, 7, 9 — páros elemszám: 3. és 4. elem átlaga.
03 · Szóródási mutató

Szórás (σ / s)

A szórás (standard deviáció) megmutatja, hogy az adatok átlagosan mennyire térnek el az átlagtól. Minél nagyobb a szórás, annál szétszórtabbak az adatok.

σ = √[ Σ(xᵢ − x̄)² / n ]

Mintás szórás esetén n helyett n−1-gyel osztunk (Bessel-korrekció).

✦ Megoldott példa — lépésről lépésre

Napi hőmérsékletek (°C): 10, 12, 14, 16, 18

1
Átlag: x̄ = (10+12+14+16+18) / 5 = 14
2
Eltérések:
(10−14)² = 16  |  (12−14)² = 4  |  (14−14)² = 0
(16−14)² = 4  |  (18−14)² = 16
3
Eltérés-négyzetek összege: 16+4+0+4+16 = 40
4
Variancia: 40 / 5 = 8
5
Szórás: σ = √8 ≈ 2,83 °C
✦ Vizuális összehasonlítás

Kis szórás — adatok közel az átlaghoz:

Nagy szórás — adatok szétszórva:

Próbáld ki!

Gyakorló feladatok

1) Számold ki a szórást (populáció): 4, 4, 4, 4, 4
Ha minden adat ugyanaz, nincs eltérés az átlagtól!
2) Számold ki a szórást (populáció): 2, 4, 6, 8, 10 (2 tizedesre)
Átlag = 6. Eltérések négyzete: 16, 4, 0, 4, 16. Összeg = 40 → 40/5 = 8 → √8 ≈ ?
04 · Szóródási mértékek

Szóródás áttekintés

A szóródás azt fejezi ki, mennyire homogén vagy heterogén egy adatsor. Többféle mutató létezik:

Terjedelem (R)

A legnagyobb és legkisebb érték különbsége.

R = xmax − xmin

Példa: Adatok: 3, 7, 12, 5, 20 → R = 20 − 3 = 17

Átlagos abszolút eltérés (AAE)

Az eltérések abszolút értékének átlaga — intuitívabb, mint a szórás.

AAE = Σ|xᵢ − x̄| / n
Variancia (σ²)

Az eltérés-négyzetek átlaga — a szórás négyzete.

σ² = Σ(xᵢ − x̄)² / n
Interkvartilis terjedelem (IQR)

A felső és alsó kvartilis különbsége — robusztus, mert nem érzékeny a kiugró értékekre.

IQR = Q₃ − Q₁
✦ Megoldott példa — összes mutató

Diákok tesztpontszámai: 45, 55, 60, 65, 70, 75, 90

1
Átlag: (45+55+60+65+70+75+90)/7 ≈ 65,71
2
Terjedelem: 90 − 45 = 45
3
Variancia: ≈ 161,63
4
Szórás: ≈ 12,71
5
IQR: Q₁=55, Q₃=75 → IQR = 20

Próbáld ki!

Gyakorló feladatok

1) Mekkora a terjedelem? 18, 25, 31, 42, 57
2) Mekkora a variancia (populáció)? 2, 4, 6
Átlag = 4. Eltérések²: 4, 0, 4 → Összeg = 8 → 8/3 ≈ ?
05 · Tudásfelmérő

Teszt

Ellenőrizd a tudásod! Válaszd ki a helyes megoldást mind a 8 kérdésre, majd kattints az „Eredmény" gombra.

Eredmény