Alapfogalmak
Mit értünk valószínűségen? Hogyan mérjük?
A valószínűség egy szám, amely megmutatja, mekkora az esélye annak, hogy egy adott esemény bekövetkezik. Értéke mindig 0 és 1 közé esik (vagy százalékban: 0% és 100% közé).
Például: egy szabályos érmét feldobva mennyi a fej valószínűsége?
Véletlenszerű folyamat, amelynek kimenetele előre nem tudható biztosan.
Pl. kockadobás, érmefeldob
Az összes lehetséges kimenetel halmaza (Ω, omega).
Kocka: Ω = {1,2,3,4,5,6}
Az eseménytér egy részhalma — azok a kimenetelek, amelyek „teljesítik" a feltételt.
„Páros szám" = {2,4,6}
Ha minden kimenetel ugyanolyan valószínű, akkor a laplace-formula alkalmazható.
Szabályos kocka, érme
Kattints az értékre, hogy példát láss!
lehetetlen
fele-fele
biztos
| Tulajdonság | Jelölés | Magyarázat |
|---|---|---|
| Nemnegatív | P(A) ≥ 0 | Valószínűség nem lehet negatív |
| Normált | P(Ω) = 1 | Valami biztosan bekövetkezik |
| Additív | P(A∪B) = P(A)+P(B) | Kizáró eseményekre |
| Komplementer | P(Ā) = 1 − P(A) | Az ellentétes esemény valószínűsége |
Érmefeldob kísérlet
Kattints az érmére, vagy dobd fel sokszor — figyeld meg a relatív gyakoriság közelítését!
Kevés dobásnál a relatív gyakoriság ingadozhat, de ahogy nő a kísérletek száma, egyre közelebb kerül az elméleti 0,5-höz. Ezt mondja ki a nagy számok törvénye.
ahol k = a kedvező esetek száma, n = összes kísérlet.
Dobókocka elemzés
Válassz eseményt, számítsd ki a valószínűségét, majd ellenőrizd szimulációval!
Kattints az oldalakra a kijelöléshez:
Események kapcsolata
Unió, metszet, komplementer — Venn-diagramon szemléltetve
| Kifejezés | Értéke |
|---|---|
| P(A) | — |
| P(B) | — |
| P(A∩B) | — |
| P(A∪B) | — |
| Kifejezés | Értéke |
|---|---|
| P(Ā) | — |
| P(B̄) | — |
| P(csak A) | — |
| P(csak B) | — |
Ha A és B kizárják egymást (P(A∩B)=0), akkor nem következhetnek be egyszerre.
Pl. kockadobásnál „1-est dob" és „6-ost dob"
Ha A és B független, az egyik bekövetkezése nem befolyásolja a másikét.
Pl. két különböző dobókocka eredménye
Feltételes valószínűség
Mi az esélye A-nak, ha tudjuk, hogy B bekövetkezett?
A feltételes valószínűség megmutatja, mekkora A valószínűsége, ha már tudjuk, hogy B megtörtént:
Az egyenes vonal „|" olvasata: „feltéve, hogy".
Egy 52 lapos franciakártyából húzunk egyet. Kattints az eseményre:
Válassz egy eseményt a gombokkal!
A metszet valószínűsége kifejezhető az A valószínűségével és a B|A feltételes valószínűséggel.
Ha az Aᵢ-k teljes rendszert alkotnak, összeadva adják P(B)-t.
A Bayes-tétel lehetővé teszi az „okból következtetni az okozatra" jellegű számítást:
Ez az alapja a modern gépi tanulásnak, spam-szűrőknek, orvosi diagnosztikának!
🧪 Orvosi példa: Egy betegség előfordulása 1%. Egy teszt 99%-ban helyes pozitív és 5%-ban téves pozitív. Ha a teszt pozitív, mekkora a valódi betegség esélye? — A Bayes-tétel alapján kb. 17%! (Nem 99%!)
Feladatok
Teszteld a tudásod! 8 feladat, azonnali visszajelzéssel.